# FM 调制公式

### 时域 FM 调制公式
$$
s(t) = A_c \cos \left( 2\pi f_c t + k_f \int_{0}^{t} m(\tau) \, d\tau \right)
$$

### 频域 FM 调制公式
$$
S(f) = \frac{A_c}{2} \left[ \delta(f - f_c) + \delta(f + f_c) \right] + \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{A_c k_f}{2} \left[ M(f - f_c + n f_m) + M(f + f_c + n f_m) \right]
$$

其中：
- $ A_c $ 是载波信号的幅度，
- $ f_c $ 是载波频率，
- $ k_f $ 是调频系数，
- $ m(t) $ 是消息信号，
- $ M(f) $ 是消息信号的频谱，
- $ \delta(f) $ 是狄拉克 delta 函数，表示理想的载波频率成分，
- $ f_m $ 是消息信号的最大频率。

### FM 调制信号的频谱分布包括：

- **载波频率**：$ f_c $，幅度为 $ \frac{A_c}{2} $
- **频率偏移分量**：位于 $ f_c \pm n f_m $（$ n = 1, 2, 3, \dots $）处，幅度为 $ \frac{A_c k_f}{2} $
- **上边带**：在 $ f_c + n f_m $ 处，幅度为 $ \frac{A_c k_f}{2} $
- **下边带**：在 $ f_c - n f_m $ 处，幅度为 $ \frac{A_c k_f}{2} $

### FM 带宽

FM 信号的带宽由 **卡森带宽公式** 给出：

$$
B_{\text{FM}} = 2 \left( f_{\Delta} + f_m \right)
$$

其中：
- $ f_{\Delta} = k_f \cdot A_m $ 是频率偏移量，
- $ f_m $ 是消息信号的最大频率。

### 总结

FM 调制信号的频谱包括：
- 载波频率：$ f_c $，幅度为 $ \frac{A_c}{2} $
- 上边带：$ f_c + n f_m $，幅度为 $ \frac{A_c k_f}{2} $
- 下边带：$ f_c - n f_m $，幅度为 $ \frac{A_c k_f}{2} $

FM 信号的带宽是由 **卡森带宽公式** 计算的，带宽为 $ 2 \left( f_{\Delta} + f_m \right) $，其中 $ f_{\Delta} $ 是频率偏移，$ f_m $ 是消息信号的最大频率。
