# IQ调制与解调示例

## 1. 基本概念
- **QPSK**：每个符号代表2比特信息，因此4个不同的相位状态（0°、90°、180°、270°）对应于4种不同的信号状态。
- **载波频率**：假设为 $ f_c $。
- **采样率**：假设为 $ F_s $。

## 2. IQ调制过程

### 输入二进制序列
假设输入的二进制序列为 `1011`。

### 映射到星座图
将每两个比特映射到QPSK星座图上的一个点：
- `10` 映射到 $ +\frac{\sqrt{2}}{2} + j \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $
- `11` 映射到 $ -\frac{\sqrt{2}}{2} + j \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $

### 分离I和Q分量
- 对于 `10`：
    - $ I = \frac{\sqrt{2}}{2} $
    - $ Q = \frac{\sqrt{2}}{2} $
- 对于 `11`：
    - $ I = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
    - $ Q = \frac{\sqrt{2}}{2} $

### 调制
- 同相分量 $ I(t) $ 与同相载波 $\cos(2\pi f_c t)$ 相乘。
- 正交分量 $ Q(t) $ 与正交载波 $\sin(2\pi f_c t)$ 相乘。
- 最终的调制信号是这两个乘积的和：
  $$
  s(t) = I(t) \cdot \cos(2\pi f_c t) + Q(t) \cdot \sin(2\pi f_c t)
  $$

### 示例计算
假设 $ f_c = 1000 $ Hz，$ F_s = 4000 $ Hz。

- 对于 `10`：
  $$
  s_1(t) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \cos(2\pi \cdot 1000 \cdot t) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \sin(2\pi \cdot 1000 \cdot t)
  $$
- 对于 `11`：
  $$
  s_2(t) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \cos(2\pi \cdot 1000 \cdot t) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \sin(2\pi \cdot 1000 \cdot t)
  $$

## 3. IQ解调过程

### 接收信号
假设接收到的信号为 $ r(t) $，它包含了噪声和其他干扰。

### 解调
- 将接收信号 $ r(t) $ 与同相载波 $\cos(2\pi f_c t)$ 和正交载波 $\sin(2\pi f_c t)$ 进行相关运算。
  $$
  I'(t) = r(t) \cdot \cos(2\pi f_c t)
  $$
  $$
  Q'(t) = r(t) \cdot \sin(2\pi f_c t)
  $$

### 提取I和Q分量
- 从 $ I'(t) $ 和 $ Q'(t) $ 中提取出同相和正交分量。

### 映射回星座图
- 将提取出的 $ I'(t) $ 和 $ Q'(t) $ 映射回星座图上的点。
- 根据星座图上的位置确定对应的二进制值。

### 输出二进制序列
- 将星座图上的点映射回二进制值：
    - $ +\frac{\sqrt{2}}{2} + j \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $ 映射为 `10`
    - $ -\frac{\sqrt{2}}{2} + j \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $ 映射为 `11`

### 示例计算
假设接收到的信号为 $ r(t) $，包含噪声和干扰。

- 对于 `10`：
  $$
  I'_1(t) = r(t) \cdot \cos(2\pi \cdot 1000 \cdot t)
  $$
  $$
  Q'_1(t) = r(t) \cdot \sin(2\pi \cdot 1000 \cdot t)
  $$
- 对于 `11`：
  $$
  I'_2(t) = r(t) \cdot \cos(2\pi \cdot 1000 \cdot t)
  $$
  $$
  Q'_2(t) = r(t) \cdot \sin(2\pi \cdot 1000 \cdot t)
  $$

## 总结
通过上述步骤，我们可以看到二进制数据是如何通过IQ调制转换为模拟信号，然后通过IQ解调恢复为原始的二进制数据的。IQ调制和解调的关键在于将信号分解为同相和正交分量，并利用这些分量进行调制和解调。